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Disciplina oferecida ao Bacharelado em Matemática e ao Programa de Pós-graduação em Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da USP.
1) Preliminares analíticos e algébricos, operadores de Fredholm.
2) Preliminares topológicos, fibrados vetoriais.
3) O teorema de Kuiper, GL(H) é contratível se o espaço de Hilbert H tem dimensão infinita.
4) A definição do índice de famílias de operadores de Fredholm.
5) O teorema de Atiyah-Jänich
Seja X um espação de Hausdorff compacto, seja H um espaço de Hilbert de dimensão infinita, e denotemos por F(H) o conjunto dos operadores de Fredholm, que é um aberto de B(H), o espaço de Banach de todos os operadores limitados em H. O principal objetivo do curso é demonstrar o teorema de Atiyah-Jänich, que estabelece um isomorfismo natural, chamado de "índice de famílias", entre as classes de homotopia de funções contínuas de X em F(H), conjunto que é inicialmente munido apenas de uma estrutura de semigrupo possivelmente não-comutativo, e o grupo abeliano K(X) associado ao semigrupo das classes de isomorfismo de fibrados vetoriais complexos sobre X (a adição é definida pela soma Whitney).
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