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Nesta aula apresentamos a definição de medida, algumas propriedades básicas, e alguns exemplos. Introduzimos a noção de completamento de uma medida, mostrando como toda medida pode ser sempre estendida a uma medida completa. Ao final da aula, introduzimos os conceitos de medida exterior e calibre.
Nesta aula definimos álgebras e sigma-álgebras de conjuntos, apresentamos algumas de suas propriedades básicas, e examinamos alguns exemplos.
Nesta aula apresentamos, a título de motivação, uma revisão do conceito de integral de Riemann, suas propriedades, e suas limitações.
Neste complemento à primeira parte da aula, demonstramos a fórmula de inversão de Fourier, e aplicamos a transformada à equação do calor.
Nesta aula apresentamos a definição e as propriedades básicas da transformada de Fourier em espaços euclidianos, provamos a fórmula de inversão de Fourier para a transformada restrita ao espaço de Schwartz, e aplicamos a teoria à equação do calor.
Nesta aula apresentamos uma breve introdução ao estudo das séries de Fourier. Introduzimos os núcleos de Dirichlet e Fejer, e discutimos a convergência Cesaro de séries de Fourier de funções contínuas. Examinamos a convolução de funções integráveis no círculo unitário e na reta, e como aplicação provamos o teorema da aproximação de Weierstrass.
Nesta aula, discutimos medidas de Borel em espaços métricos compactos e o teorema da representação de Riesz.
Nesta aula continuamos nossa exposição sobre espaços L^p, provando o teorema da dualidade para esses espaços.
Nesta aula introduzimos os espaços L^p de Lebesgue. Para isto, provamos inicialmente as desigualdades de Hölder e Minkowski. Mostramos também que esses espaços são completos, isto é, são espaços de Banach.
Nesta aula exploramos consequências do teorema da diferenciação de Lebesgue, incluindo a diferenciabilidade de funções monótonas, funções de variação limitada, e funções absolutamente contínuas. Também examinamos a questão: quando uma função diferenciável em quase todo ponto é a integral de sua derivada?
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