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Nesta aula apresentamos, a título de motivação, uma revisão do conceito de integral de Riemann, suas propriedades, e suas limitações.
Nesta aula definimos álgebras e sigma-álgebras de conjuntos, apresentamos algumas de suas propriedades básicas, e examinamos alguns exemplos.
Nesta aula apresentamos a definição de medida, algumas propriedades básicas, e alguns exemplos. Introduzimos a noção de completamento de uma medida, mostrando como toda medida pode ser sempre estendida a uma medida completa. Ao final da aula, introduzimos os conceitos de medida exterior e calibre.
Esta é a primeira aula do curso de Medida e Integração -- Primeiro Semestre 2021
Nesta aula examinamos os modos mais comuns de convergência de sequências funções mensuráveis (ou integráveis), a saber: convergência pontual, convergência qtp, convergência em medida e convergência em L^p. Apresentamos o teorema de Egoroff, e em seguida os chamados 3 princípios de Littlewood.
Nesta aula: (1) introduzimos a noção de sigma-álgebra produto; (2) apresentamos o lema da classe monótona; (3) utilizamos este lema e os teoremas da convergência monótona e da convergência dominada para construir medidas-produto; (4) enunciamos o teorema de Fubini-Tonelli.
Nesta aula apresentamos o Teorema de Fubini-Tonelli, ilustrando a necessidade das hipóteses com alguns exemplos. Em seguida, como aplicação, definimos produto de convolução de funções integráveis (mostrando que L^1(R) é uma álgebra de Banach).
Nesta aula apresentamos os conceitos de medida complexa, medida com sinal, conjuntos positivos/negativos/nulos, e provamos o teorema da decomposição de Hahn/Jordan.
Nesta aula, apresentamos a decomposição de Jordan, a noção de medidas mutuamente singulares, a definição de continuidade absoluta de uma medida complexa em relação a uma medida positiva, culminando com o teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym.
Nesta aula, apresentamos a definição do operador maximal de Hardy-Littlewood, o lema da cobertura de Wiener, a desigualdade de Hardy-Littlewood e ao final o enunciado do teorema da diferenciação de Lebesgue.
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